Аполлондук Прокладка-бул бир чоң тегеректин ичинде дайыма кыскарып турган чөйрөлөрдүн жыйындысынан түзүлгөн фракталдык сүрөттүн бир түрү. Аполлоний прокладкадагы ар бир тегерек чектеш тегеректерге жанталашып турат - башкача айтканда, Аполлоний прокладкадагы тегеректер чексиз кичине чекиттерде байланыш түзүшөт. Перганын грек математиги Аполлонийдин ысымы менен аталган фракталдын бул түрү (кол менен же компьютер менен) акылга сыярлык татаалдыкка чейин тартылып, кооз, таң калыштуу сүрөттү түзөт. Баштоо үчүн төмөндөгү 1 -кадамды караңыз.
Кадамдар
2 ичинен 1 -бөлүк: Негизги түшүнүктөрдү түшүнүү
Түшүнүктүү болуш үчүн, эгер сиз жөн гана Аполлоний Пастолкасын тартууга кызыксаңыз, фракталдын артындагы математикалык принциптерди изилдөө маанилүү эмес. Бирок, эгер сиз Apollonian Gaskets жөнүндө тереңирээк түшүнүүнү кааласаңыз, анда биз аларды талкуулоодо колдоно турган бир нече түшүнүктөрдүн аныктамаларын түшүнүү маанилүү.
Кадам 1. Негизги терминдерди аныктаңыз
Төмөндөгү көрсөтмөлөрдө төмөнкү терминдер колдонулат:
- Аполлониялык Пастолка: Фракталдын бир чоң аталышынын бири, бир чоң тегеректин ичине салынган жана жакын жердеги баарына тангенс. Булар дагы "Содди чөйрөлөр" же "Өбүшүү чөйрөлөрү" деп аталат.
- Айлананын радиусу: Айлананын борбордук чекитинен анын четине чейинки аралык. Көбүнчө r өзгөрмөсү дайындалат.
- Чөйрөнүн кыйшыгы: радиустун оң же терс тескери же ± 1/r. Айлананын сырткы ийрилиги менен күрөшүүдө оң жана ички ийри үчүн терс болот.
- Тангенс: Чексиз кичинекей чекитте кесилишкен сызыктарга, тегиздиктерге жана фигураларга карата колдонулган термин. Apollonian Gasketsте, бул ар бир тегерек ар бир жакын тегерекке бир гана учурда тийип турганын билдирет. Белгилей кетсек, кесилиш жок - тангенс фигуралар бири -бирине дал келбейт.
2 -кадам. Декарт теоремасын түшүнүңүз
Декарт теоремасы - бул Аполлондук Прокладкадагы тегерекчелердин өлчөмдөрүн эсептөө үчүн пайдалуу формула. Эгерде биз кандайдыр бир үч тегеректин ийриликтерин (1/r) тиешелүү түрдө a, b жана c деп аныктай турган болсок, теоремада тегеректин (же чөйрөлөрдүн) ийкемдүүлүгү үчөө тең жанталашат, биз d деп аныктайбыз.: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Биздин максаттар үчүн, биз көбүнчө квадрат тамырынын алдына плюс белгисин коюу менен алган жоопту гана колдонобуз (башкача айтканда, … + 2 (sqrt (…)). Азырынча алып салуу экенин билүү жетиштүү теңдеме формасы башка тиешелүү милдеттерде колдонулат
2ден 2 -бөлүк: Аполлондук Прокладканы куруу
Аполлондук Прокладкалар кичирейген чөйрөлөрдүн кооз фракталдык түзүлүштөрүн кабыл алат. Математикалык жактан Аполлониялык Прокладкалар чексиз татаалдыкка ээ, бирок, сиз компьютердик чийме программасын же салттуу чийме куралдарын колдонуп жатсаңыз да, акырында кичине чөйрөлөрдү тартуу мүмкүн болбогон чекке жетесиз. Көңүл буруңуз, сиз өзүңүздүн тегерекчелериңизди канчалык так тартсаңыз, ошончолук Пастеркаңызга батыраак кире аласыз.
Кадам 1. Санарип же аналогдук чийме куралдарыңызды чогултуп алыңыз
Төмөнкү кадамдарда биз өзүбүздүн жөнөкөй Аполлониялык Пастерканы жасайбыз. Аполлондук гастролдорду кол менен же компьютерде тартууга болот. Кандай болбосун, сиз кемчиликсиз тегерек тегеректерди тарта билгиңиз келет. Бул абдан маанилүү. Аполлондук Пластиканын ар бир тегерекчеси жанындагы тегерекчелерге эң сонун тийип тургандыктан, кичине эле калыптанбаган чөйрөлөр акыркы продуктуңузду "ыргытып салышы" мүмкүн.
- Эгерде сиз компьютерге Гастрономаны тартсаңыз, сизге борбордук чекиттен туруктуу радиустагы тегерекчелерди оңой тартууга мүмкүндүк берүүчү программа керек болот. GIF, GIMP акысыз сүрөт түзөтүү программасы үчүн вектордук чийме кеңейтүүсү, башка көптөгөн чийме программалары сыяктуу колдонулушу мүмкүн (тиешелүү шилтемелер үчүн материалдар бөлүмүн караңыз). Сизге, балким, калькулятордун тиркемеси же сөз процессорунун документи же ийриликтерге жана радиустарга жазуу үчүн физикалык блокнот керек болот.
- Прокладканы кол менен тартуу үчүн сизге калькулятор (илимий же графикалык сунушталган), карандаш, компас, сызгыч (миллиметрдик белгилери бар масштаб, графикалык кагаз жана ноутбук керек) керек болот.
Кадам 2. Бир чоң тегерек менен баштаңыз
Сиздин биринчи тапшырмаңыз оңой - бир чоң, кемчиликсиз тегерек тегеректи сызыңыз. Чөйрө канчалык чоң болсо, ошончолук татаалыраак Гастролго ээ болушуңуз мүмкүн, андыктан кагазыңыз уруксат бергендей же чийүү программаңыздын бир терезесинен оңой көрүп тургандай чоң тегерек кылууга аракет кылыңыз.
Кадам 3. Түпнусканын ичинде кичине тегеректи түзүп, бир жагына жанчыл
Андан кийин, биринчисинин ичине оригиналдан кичирээк, бирок дагы эле бир топ чоңураак сызыңыз. Экинчи тегеректин так өлчөмү сизге байланыштуу - туура өлчөм жок. Бирок, биздин максаттарыбыз үчүн, экинчи тегерегибизди биздин чоң сырткы тегерегибиздин так ортосуна жетиши үчүн тартайлы. Башкача айтканда, экинчи тегерегибизди анын борбордук чекити чоң тегеректин радиусунун ортоңку чекити кылып тарталы.
Эсиңизде болсун, Аполлон Гаскеттеринде тийүүчү бардык чөйрөлөр бири -бирине тийип турат. Эгерде сиз өзүңүздүн чөйрөңүздү кол менен тартуу үчүн компасты колдонуп жатсаңыз, анда карандашыңызды чоң тегерек четине тийип тургандай кылып тууралап, компастын курч чекитин чоң сырткы тегеректин радиусунун ортосуна коюп, бул эффектти кайра жаратыңыз, андан кийин кичинекей ички чөйрөңүздү чийиңиз
4 -кадам. Кичирээк ичиндеги тегерекчени "карама -каршы" сызыңыз
Андан кийин, биринчи тегерегибизге дагы бир тегеректи чийели. Бул тегерек чоң сырткы тегерекке да, кичирээк ички чөйрөгө да тийип турушу керек, бул сиздин эки ички чөйрөңүз чоң сырткы тегеректин так ортосуна тийип калат дегенди билдирет.
Кадам 5. Кийинки чөйрөлөрүңүздүн чоңдугун табуу үчүн Декарт теоремасын колдонуңуз
Бир азга сүрөт тартууну токтотолу. Эми биздин Гастролдо үч тегерек болгондон кийин, биз тарта турган кийинки айлананын радиусун табуу үчүн Декарт теоремасын колдонсок болот. Декарттын теоремасы экенин унутпаңыз d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), мында a, b жана c - бул сиздин үч жанталашкан чөйрөңүздүн ийрилиги жана d - бул үчөөнө тең тегеректин ийрилиги. Ошентип, кийинки тегерегибиздин радиусун табуу үчүн, келерки тегеректин ийрилигин табуу үчүн, буга чейин болгон ар бир тегерегибиздин ийрилигин табалы, анан муну анын радиусуна айландыралы.
-
Келгиле, сырткы тегерегибиздин радиусун аныктайлы
1 кадам.. Башка чөйрөлөр ушул чөйрөнүн ичинде болгондуктан, биз анын ички ийрилиги менен (анын сырткы ийрилиги эмес) алпурушуп жатабыз, демек, анын ийрилиги терс экенин билебиз. -1/r = -1/1 = -1. Чоң тегеректин ийрилиги - 1.
-
Кичинекей чөйрөлөрдүн радиустары чоң тегеректин жарымына барабар, же башкача айтканда 1/2. Бул чөйрөлөр бири -бирине жана чоң тегерекке сырткы чети менен тийгендиктен, биз алардын сырткы ийрилиги менен күрөшүп жатабыз, андыктан алардын ийрилиги оң. 1/(1/2) = 2. Кичинекей чөйрөлөрдүн ийри сызыктары экөө тең
2-кадам..
-
Эми, биз билебиз a = -1, b = 2 жана c = 2 биздин Декарт теоремасы үчүн. Келгиле, d үчүн чечели:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Биздин кийинки тегерегибиздин ийрилиги
3 -кадам.. 3 = 1/r болгондуктан, кийинки тегерегибиздин радиусу 1/3.
Кадам 6. Кийинки чөйрөлөрүңүздү түзүңүз
Кийинки эки тегерегиңизди тартуу үчүн жаңы эле табылган радиустун маанисин колдонуңуз. Эсиңизде болсун, булар Декарттын теоремасында a, b жана c үчүн ийри сызыктарды колдонгон чөйрөлөргө тийип калат. Башкача айтканда, алар баштапкы жана экинчи чөйрөлөргө тийип калат. Бул чөйрөлөр үч тегерекке тең тийиши үчүн, аларды чоң баштапкы тегерегиңиздин ичиндеги үстүнкү жана астындагы ачык жерлерге тартууңуз керек болот.
Бул чөйрөлөрдүн радиустары 1/3 барабар болорун унутпаңыз. Сырткы тегеректин четинен 1/3 артка ченеп, анан жаңы тегеректи сызыңыз. Бул тегеректеги үч чөйрөгө тең тийиши керек
Кадам 7. Чөйрөлөрдү кошууну улантуу үчүн ушул модада улантыңыз
Фракталдар болгондуктан, Аполлониялык Прокладкалар чексиз татаал. Бул жүрөгүңүздүн мазмунуна кичирээк жана кичине чөйрөлөрдү кошо аласыз дегенди билдирет. Сиз инструменттериңиздин тактыгы менен гана чектелесиз (же эгер сиз компьютер колдонуп жатсаңыз, сиздин чийме программаңыздын "кичирейтүү" мүмкүнчүлүгү). Ар бир тегерек, канчалык кичине болбосун, башка үч тегерекке тийип турушу керек. Пластинкага ар бир кийинки тегеректи тартуу үчүн, Декарт теоремасына жантайган үч тегеректин кыйшыктыгын сайыңыз. Андан кийин, жаңы айланаңызды так тартуу үчүн жообуңузду колдонуңуз (бул сиздин жаңы чөйрөңүздүн радиусу болот).
- Биз чийүү үчүн тандап алган Проклад симметриялуу экенин эске алыңыз, андыктан бир тегерекченин радиусу "анын каршысындагы" тиешелүү тегерек менен бирдей. Бирок, билиңиз, ар бир Аполлондук Прокладка симметриялуу эмес.
-
Дагы бир мисалга токтололу. Келгиле, акыркы топтомдорубузду тарткандан кийин, эми үчүнчү топтогубузга, экинчибизге жана чоң сырткы тегерегибизге жантайган чөйрөлөрдү тарткыбыз келет дейли. Бул чөйрөлөрдүн ийри сызыктары тиешелүү түрдө 3, 2 жана -1. Келгиле, бул сандарды Декарт теоремасына кошобуз, a = -1, b = 2 жана c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Бизде эки жооп бар! Бирок, биз билебиз, анткени биздин жаңы тегерек ийкемдүү болгон тегерекчелердин баарынан кичине болот.
6 -кадам. (демек, радиусу 1/6) мааниси бар.
- Биздин башка жооп, 2, чындыгында, биздин экинчи жана үчүнчү тегерекчелерибиздин тангенттик чекитинин башка жагындагы гипотетикалык чөйрөнү билдирет. Бул чөйрө болуп саналат бул чөйрөлөрдүн экөөнө тең жана чоң сырткы тегерекке тийип кетет, бирок ал биз тарткан тегерекчелерди кесет, андыктан биз аны четке кага алабыз.
Кадам 8. Чакырык үчүн, экинчи тегерегиңиздин өлчөмүн өзгөртүү менен симметриялуу эмес Аполлониялык Прокладка жасап көрүңүз
Бардык Аполлондук Прокладкалар бирдей башталат - фракталдын четинин милдетин аткаруучу чоң сырткы тегерек менен. Бирок, сиздин экинчи чөйрөңүз сөзсүз түрдө биринчи радиустун 1/2 бөлүгүнө ээ болушуна эч кандай себеп жок - биз муну жогорудагыдай кылууну чечтик, анткени бул жөнөкөй жана түшүнүүгө оңой. Көңүл ачуу үчүн, башка өлчөмдөгү экинчи айланма менен жаңы Прокладка баштоого аракет кылыңыз - бул чалгындоонун кызыктуу жаңы жолдоруна алып келет.
