Квадрат теңдемени кантип графикке салуу керек: 10 кадам (сүрөттөр менен)

2024 Автор: Robert Blare | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-02-02 02:07

Графикке келтирилгенде, формадагы квадрат теңдемелер балта² + bx + c же а (х - ч)² + к парабола деп аталган жылмакай U түрүндөгү же тескери U түрүндөгү ийри бер. Квадрат теңдеменин графигин түзүү - анын чокусун, багытын жана көбүнчө анын х жана у кесилиштерин табуу маселеси. Салыштырмалуу жөнөкөй квадраттык теңдемелерде, x маанилеринин диапазонун туташтыруу жана алынган чекиттердин негизинде ийри сызык салуу үчүн да жетиштүү болушу мүмкүн. Баштоо үчүн төмөндөгү 1 -кадамды караңыз.

Кадамдар

Кадам 1. Квадрат теңдеменин кайсы формасы бар экенин аныктаңыз

Квадрат теңдеме үч башка формада жазылышы мүмкүн: стандарт формасы, чоку формасы жана квадрат формасы. Квадрат теңдеменин графигин түзүү үчүн сиз форманы колдоно аласыз; ар биринин графигин түзүү процесси бир аз башкача. Эгерде сиз үй тапшырмасын аткарып жатсаңыз, адатта көйгөйдү ушул эки форманын биринде аласыз - башкача айтканда, сиз тандай албайсыз, андыктан экөөнү тең түшүнүү керек. Квадрат теңдеменин эки формасы:

• Стандарттык форма.

  Бул формада квадрат теңдеме мындай жазылат: f (x) = ax² + bx + c мында a, b жана c чыныгы сандар жана а нөлгө барабар эмес.

  Мисалы, эки стандарттуу формадагы квадрат теңдемелер f (x) = x² + 2x + 1 жана f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex формасы.

  Бул формада квадрат теңдеме мындай жазылат: f (x) = a (x - h)² + k мында a, h жана k чыныгы сандар жана а нөлгө барабар эмес. Vertex формасы ушундай аталып калган, анткени h жана k сизге параболаңыздын чокусун (борбордук чекит) (h, k) чекитинде түз берет.

  Эки чоку формасы теңдемелери f (x) = 9 (x - 4)² + 18 жана -3 (x - 5)² + 1

• Теңдемелердин бул түрлөрүнүн бирин графикке келтирүү үчүн, адегенде ийректин "учунда" борбордук чекит (h, k) болгон параболанын чокусун табышыбыз керек. Чокунун координаттары стандарт түрүндө берилет: h = -b/2a жана k = f (h), ал эми чоку формасында h жана k теңдемеде көрсөтүлгөн.

Кадам 2. Өзгөрмөлөрүңүздү аныктаңыз

Квадраттык маселени чечүү үчүн а, b жана c (же a, h жана k) өзгөрмөлөрүн аныктоо керек. Орточо алгебра маселеси сизге өзгөрмөлөр толтурулган квадрат теңдеме берет, көбүнчө стандарт формада, бирок кээде чоку формасында.

• Мисалы, стандарттык форма теңдемеси үчүн f (x) = 2x² + 16x + 39, бизде a = 2, b = 16 жана c = 39 бар.
• Чоку формасы үчүн теңдеме f (x) = 4 (x - 5)² + 12, бизде a = 4, h = 5 жана k = 12 бар.

3 -кадам. H эсептөө

Чоку формадагы теңдемелерде h үчүн сиздин мааниңиз мурунтан эле берилген, бирок стандарттык формадагы теңдемелерде аны эсептөө керек. Эсиңизде болсун, стандарттык формалар үчүн h = -b/2a.

• Биздин стандарт түрдөгү мисалда (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Чечип, биз h = деп табабыз - 4.
• Биздин чокуда мисал (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), биз h = 5ти эч кандай математика кылбай эле билебиз.

4 -кадам. K эсептөө

H сыяктуу эле, k чоку формасындагы теңдемелерде белгилүү. Стандарттык форма теңдемелери үчүн k = f (h) экенин унутпаңыз. Башкача айтканда, сиз теңдемеңиздеги хтин ар бир мисалын h үчүн тапкан мааниге алмаштыруу менен k таба аласыз.

• Биз стандарттык формабызда h = -4 экенин аныктадык. K табуу үчүн, биз xти алмаштырган h үчүн маанибиз менен теңдемебизди чечебиз:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    7 -кадам.

• Биздин чоку формасындагы мисалда, дагы бир жолу, биз математиканы кылбастан, kнын (12ге барабар) баасын билебиз.

Кадам 5. Чокуңузду сызыңыз

Параболаңыздын чокусу (h, k) - h чекити болот, к координатын аныктайт, ал эми k у координатын аныктайт. Чоку сиздин параболаңыздын борбордук чекити - же "U" тамгасынын түбү же тескери "U" чокусу. Чокуну билүү так параболанын графигинин маанилүү бөлүгү болуп саналат - көбүнчө мектепте, чокуну көрсөтүү суроонун зарыл бөлүгү болуп калат.

• Биздин стандарт формабыздын мисалында, биздин чоку (-4, 7) де болот. Ошентип, биздин парабола 0 жана 7 боштуктун сол жагында 4 боштуктун чокусуна чыгат (0, 0). Биз бул чекитти графигибизде түзүшүбүз керек, координаттарды белгилөөнү унутпайлы.
• Биздин чоку түрүндөгү мисалында, биздин чоку (5, 12) де. Биз 5 чекиттин оң жагына жана 12 боштуктун үстүнө чекит коюшубуз керек (0, 0).

Кадам 6. Параболанын огун тартыңыз (милдеттүү эмес)

Параболанын симметрия огу - анын ортосунан өтүүчү сызык, аны экиге бөлүп турат. Бул огунун аркы өйүзүндө, параболанын сол тарабы оң жагын чагылдырат. Балта түрүндөгү квадратика үчүн² + bx + c же a (x - h)² + k, огу огуна параллель (башкача айтканда, кемчиликсиз тик) жана чокудан өткөн сызык.

Биздин стандарт форма мисалында, огу y огуна параллель жана чекит аркылуу өткөн сызык (-4, 7). Бул параболанын бир бөлүгү болбосо да, графикке бул сызыкты жеңил белгилөө, акыры параболанын симметриялуу ийрилгенин көрүүгө жардам берет

Кадам 7. Ачылыш багытын табыңыз

Параболанын чокусун жана огун түшүнгөндөн кийин, биз параболанын өйдө же ылдый ачыларын билишибиз керек. Бактыга жараша, бул оңой. Эгерде "а" оң болсо, парабола өйдө карай ачылат, ал эми "а" терс болсо, парабола ылдый ачылат (б.а. тескери бурулат.)

• Биздин стандарт формабыз үчүн (f (x) = 2x² + 16x + 39), бизде парабола бар экенин билебиз, анткени биздин теңдемеде a = 2 (оң).
• Биздин чоку формасы үчүн мисал (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), бизде дагы парабола бар экенин билебиз, анткени a = 4 (оң).

Кадам 8. Керек болсо, x кесилиштерин таап, пландаңыз

Көбүнчө, мектепте, сизден параболанын х-кесилиштерин табуу талап кылынат (бул парабола х огуна жооп берген бир же эки чекит). Аларды таппасаңыз дагы, бул эки пункт так параболаны тартуу үчүн баа жеткис болушу мүмкүн. Бирок, бардык параболаларда x-intercepts жок. Эгерде параболаңыздын төбөсү өйдө карай ачылса жана х огунун үстүндө чокусу болсо же ылдый ачылып, х огунун астында чокусу болсо, анда эч кандай x кесилиштери болбойт. Болбосо, x ыкмаларын төмөнкү методдордун бири менен чечиңиз:

• Жөн гана f (x) = 0 коюп, теңдемени чечиңиз. Бул ыкма жөнөкөй квадрат теңдемелер үчүн, айрыкча чоку формасында иштеши мүмкүн, бирок татаалыраактары үчүн өтө кыйын болуп калат. Мисал үчүн төмөндө караңыз

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 жана 13 параболанын x-interceptions болуп саналат.

• Теңдемеңизди эске алыңыз. Балтадагы кээ бир теңдемелер² + bx + c формасы (dx + e) (fx + g) формасына оңой киргизилет, мында dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx жана e × g = c. Бул учурда, сиздин x кесилиштериңиз x үчүн маанилер болуп саналат, алар кашаанын ичинде терминди түзөт = 0. Мисалы:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Бул учурда, сиздин жалгыз x кесилишиңиз -1 болот, анткени xти -1ге барабар кылуу, кашаанын ичиндеги факторлордун бирин 0ге тең кылат.

• Квадрат формуланы колдонуңуз. Эгерде сиз өзүңүздүн x кесилиштериңизди оңой чече албасаңыз же теңдемеңизди факторлосоңуз, анда ушул максат үчүн арналган квадрат формула деп аталган атайын теңдемени колдонуңуз. Эгерде ал жок болсо, теңдемеңизди axta түрүнө алыңыз² + bx + c, андан кийин a, b жана c формуласына x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Көбүнчө бул сизге x үчүн эки жоопту берет, бул жакшы, бул сиздин параболада эки жолу x кесилиштери бар экенин билдирет. Мисал үчүн төмөндө караңыз:

  • -5x² + 1x + 10 төмөнкүдөй квадрат формулага кошулат:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) жана (-15.18/-10). Параболанын x кесилиштери болжол менен x = де болот - 1.318 жана 1.518
  • Биздин мурунку стандарттык үлгүбүз, 2х² + 16x + 39 төмөнкүдөй квадрат формулага кошулат:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Себеби терс сандын квадрат тамырын табуу мүмкүн эмес, муну биз билебиз x тоскоолдуктары жок бул өзгөчө парабола үчүн бар.

Кадам 9. Керек болсо, y кесилишин таап, пландаңыз

Теңдеменин y кесилишин табуунун кажети жок болсо да (параболанын y огу аркылуу өтүүчү чекити), сиз, айрыкча мектепте болсоңуз, талап кылынышы мүмкүн. Бул процесс өтө оңой - жөн гана x = 0 коюңуз, андан кийин f (x) же y үчүн теңдемеңизди чечиңиз, ал параболаңыздын y огу аркылуу өтүүчү y маанисин берет. Х кесилиштеринен айырмаланып, стандарттык параболаларда бир гана y кармоо болушу мүмкүн. Эскертүү - стандарттык форма теңдемелери үчүн, y кесилиши y = c де болот.

• Мисалы, биз 2x квадрат теңдемебизди билебиз² + 16x + 39 y = 39да y кесилишине ээ, бирок аны төмөнкүчө тапса болот:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Параболанын y кесилиши at y = 39.

    Жогоруда белгиленгендей, y кесилиши y = c де болот.

• Биздин чоку формасы 4 (x - 5)² + 12де y кесилиш бар, аны төмөнкүчө табууга болот:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Параболанын y кесилиши at y = 112.

Кадам 10. Керек болсо кошумча пункттарды, анан графикти түзүңүз

Эми сиз теңдемеңиз үчүн чокуга, багытка, x кесилиштерине жана, кыязы, y y кесилишине ээ болушуңуз керек. Бул учурда, сиз өзүңүздүн параболаңызды колдонмо катары колдонууга аракет кылсаңыз болот, же сиз параболаңызды "толтуруу" үчүн көбүрөөк чекиттерди таба аласыз, ошондо сиз тарткан ийри сызык так болот. Мунун эң оңой жолу - бул сиздин чокуңуздун эки жагына бир нече x маанилерин туташтыруу, андан кийин бул упайларды сиз алган y маанилерин колдонуу. Көбүнчө, мугалимдер параболаңызды тартуудан мурун сизден белгилүү бир упай топтоону талап кылышат.

• Келгиле, x теңдемесин кайра карап көрөлү² + 2x + 1. Биз буга чейин анын бир гана x кесилишинин x = -1де экенин билебиз. Ал бир убакта x кесилишине гана тийгендиктен, биз анын чокусу анын x кесилиши экенин, анын чокусу (-1, 0) экенин биле алабыз. Бизде бул парабола үчүн бир гана пункт бар - жакшы параболаны тартуу үчүн дээрлик жетишсиз. Туура графикти түзүүнү камсыз кылуу үчүн дагы бир нечесин табалы.

  • Төмөнкү х баалуулуктары үчүн y маанилерин табалы: 0, 1, -2 жана -3.
  • 0 үчүн: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Биздин оюбузча (0, 1).

  • 1 үчүн: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Биздин ой (1, 4).

  • -2 үчүн: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Биздин оюбузча (-2, 1).

  • -3 үчүн: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Биздин көз караш (-3, 4).

  • Бул пункттарды графикке чийип, U түрүндөгү ийри сызыгыңызды чийиңиз. Параболанын симметриялуу экенине көңүл буруңуз - параболанын бир жагындагы упайларыңыз бүтүндөй сандарда болгондо, параболанын симметрия огунда тигил же бул чекитти чагылдыруу менен өзүңүздү сактап кала аласыз. парабола жөнүндө

Видео - Бул кызматты колдонуу менен, кээ бир маалыматтар YouTube менен бөлүшүлүшү мүмкүн

Кеңештер

• Белгилей кетсек, f (x) = ax² + bx + c, эгерде b же c нөлгө барабар болсо, анда ал сандар жоголот. Мисалы, 12 эсе² + 0x + 6 12x болуп калат² + 6, анткени 0x 0.
• Алгебра мугалимиңиз айткан сандарды тегеректеңиз же бөлчөктөрдү колдонуңуз. Бул сизге квадрат теңдемелериңизди туура график түзүүгө жардам берет.